Julián Cuevas-Rozo

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Cálculo de invariantes topológicos sobre espacios topológicos finitos

Ponente: Julián Cuevas-Rozo (Universidad de La Rioja – Universidad Nacional de Colombia)

Lugar: Seminario Mirian Andrés (Edificio CCT)

Hora: miércoles 05 de junio, 12:00

Nota: la charla se trata de una prueba de tiempo de la charla del mismo título que Julián imparte en el XXII Congreso Colombiano de Matemáticas en la Universidad del Cauca, Popayán, Colombia (10 – 14 de junio, 2019).

Resumen: En esta charla haremos una breve introducción a la teoría de los espacios (topológicos) finitos, donde mostraremos diferentes conceptos usados en el estudio de algunos invariantes topológicos, como es el caso del teorema de clasificación de los tipos de homotopía, así como diferentes técnicas que permiten reducir el tamaño de dichos espacios finitos al realizar eliminaciones (o modificaciones) de algunos de sus elementos sin cambiar sus propiedades topológicas. Utilizando estas técnicas hemos desarrollado algoritmos efectivos para el cómputo de invariantes combinando versiones constructivas de resultados conocidos sobre espacios topológicos con métodos combinatorios propios de los espacios finitos. En el caso particular de los espacios finitos h-regulares, presentaremos algoritmos para calcular sus grupos de homología implementados en el programa de cálculo simbólico Kenzo, desarrollado por Francis Sergeraert y algunos colaboradores, y que permite calcular invariantes homológicos y homotópicos de espacios topológicos por medio de sus versiones simpliciales. Además mostraremos cómo el uso de campos de vectores discretos mejora la eficiencia de los algoritmos propuestos.

Referencias:

  • Barmak J.A., Algebraic topology of finite topological spaces and applications. LectureNotes in Mathematics Vol. 2032 (2011).
  • Cianci N. and Ottina M., A new spectral sequence for homology of posets. Topology and its Applications 217, 1–19 (2017).
  • Forman R., Morse theory for cell complexes, Advances in Mathematics 134, 90–145 (1998).
  • McCord M.C., Singular homology groups and homotopy groups of finite topological spaces. Duke Math. J.33(3), 465–474 (1966).
  • Stong R.E., Finite  topological  spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 123(2), 325–340 (1966).