Kenzo

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The kernel of Sphynx

Ponente: Francis Sergeraert (Université Joseph Fourier – Grenoble 1).

Lugar: Seminario Mirian Andrés (Edificio CCT).

Hora: martes 16 de mayo de 2023, 12:00.

Resumen: The Kenzo program was born thirty years ago. Taking account of the long experience of Kenzo, in particular of its relatively important defects, an entirely new version of Kenzo is currently being rewritten, called Sphynx. Thirty years later, our machines are much more powerful, allowing us to use all the resources of Common Lisp, in particular the Meta Object Protocol. The result is a text much closer to the very nature of the underlying mathematics, satisfying also the now common requirements: strict typing during the development, efficiency in production. The talk will explain the main components of the Sphynx program.

Algoritmos basados en la Teoría de Morse Discreta para el cálculo de la homología de espacios clasificantes

Ponente: Juan Antonio Delgado Tejada (Grupo PSYCOTRIP, Universidad de La Rioja).

Lugar: Seminario Mirian Andrés (Edificio CCT), o a través de Blackboard (https://bit.ly/salaDMC).

Hora: martes 11 de octubre de 2022, 11:00.

Resumen: Calcular la homología de un conjunto simplicial dado es, en general, una tarea difícil, sobre todo en el caso de que el conjunto simplicial no sea de tipo finito. La teoría de perturbación homológica y la teoría de Morse discreta son dos aproximaciones a la hora de organizar el cálculo de grupos de homología. En esta charla daremos unas nociones introductorias de ambos acercamientos, así como la construcción explícita de un campo de vectores sobre el espacio clasificante de un grupo simplicial reducido. Este campo de vectores proporciona no solo una nueva demostración de carácter geométrico sobre la reducción directa del espacio clasificante sobre la construcción Bar debida a P. Real, sino también una forma eficiente para su implementación en el sistema de cálculo simbólico Kenzo.

Nota: la charla se trata de una prueba de tiempo para el X Encuentro de Jóvenes Topólogos, que tendrá lugar del 18 al 20 de octubre de 2022 en Zaragoza.

Nuevo módulo de Kenzo para el cálculo de sistemas espectrales de fibraciones simpliciales

Ponentes: Daniel Miguel Treviño (Universidad de La Rioja)

Lugar: Salón de Actos (Edificio CCT), o a través de Blackboard (https://bit.ly/salaDMC)

Hora: miércoles 12 de enero, 9:15

Resumen: En este trabajo presentamos un nuevo módulo del sistema de álgebra computacional Kenzo dedicado al cálculo de nuevos sistemas espectrales. Dado un conjunto simplicial, podemos considerar las construcciones de sus espacios de lazos y clasificante, junto con las fibraciones universales asociadas. A partir de cada una de ellas, combinándolas con la fibración inicial, construimos dos sistemas espectrales que relacionan sucesiones espectrales de Serre y de Eilenberg–Moore. Para definir los sistemas espectrales, utilizamos filtraciones generalizadas sobre downsets en $\mathbb{Z}^2$. Dichas filtraciones se definen en ciertos complejos de tipo Bar y Cobar, que son los que originan las sucesiones espectrales de Eilenberg–Moore. La implementación abarca complejos de cadenas de tipo infinito, mediante la técnica de homología efectiva.

Conectando Kenzo con SageMath

Ponente: Jose Divasón Mallagaray (Universidad de La Rioja)

Lugar: Seminario Mirian Andrés (Edificio CCT)

Hora: lunes 08 de julio, 12:00

Resumen: En esta charla mostraremos un trabajo conjunto con Julián Cuevas, Miguel Marco y Ana Romero en el que se está desarrollando una interfaz de Kenzo para SageMath. El trabajo permite comunicar ambos sistemas y realizar cálculos de topología algebraica en Sage (grupos de homología y homotopía) que antes no eran posibles.

Cálculo de invariantes topológicos sobre espacios topológicos finitos

Ponente: Julián Cuevas-Rozo (Universidad de La Rioja – Universidad Nacional de Colombia)

Lugar: Seminario Mirian Andrés (Edificio CCT)

Hora: miércoles 05 de junio, 12:00

Nota: la charla se trata de una prueba de tiempo de la charla del mismo título que Julián imparte en el XXII Congreso Colombiano de Matemáticas en la Universidad del Cauca, Popayán, Colombia (10 – 14 de junio, 2019).

Resumen: En esta charla haremos una breve introducción a la teoría de los espacios (topológicos) finitos, donde mostraremos diferentes conceptos usados en el estudio de algunos invariantes topológicos, como es el caso del teorema de clasificación de los tipos de homotopía, así como diferentes técnicas que permiten reducir el tamaño de dichos espacios finitos al realizar eliminaciones (o modificaciones) de algunos de sus elementos sin cambiar sus propiedades topológicas. Utilizando estas técnicas hemos desarrollado algoritmos efectivos para el cómputo de invariantes combinando versiones constructivas de resultados conocidos sobre espacios topológicos con métodos combinatorios propios de los espacios finitos. En el caso particular de los espacios finitos h-regulares, presentaremos algoritmos para calcular sus grupos de homología implementados en el programa de cálculo simbólico Kenzo, desarrollado por Francis Sergeraert y algunos colaboradores, y que permite calcular invariantes homológicos y homotópicos de espacios topológicos por medio de sus versiones simpliciales. Además mostraremos cómo el uso de campos de vectores discretos mejora la eficiencia de los algoritmos propuestos.

Referencias:

  • Barmak J.A., Algebraic topology of finite topological spaces and applications. LectureNotes in Mathematics Vol. 2032 (2011).
  • Cianci N. and Ottina M., A new spectral sequence for homology of posets. Topology and its Applications 217, 1–19 (2017).
  • Forman R., Morse theory for cell complexes, Advances in Mathematics 134, 90–145 (1998).
  • McCord M.C., Singular homology groups and homotopy groups of finite topological spaces. Duke Math. J.33(3), 465–474 (1966).
  • Stong R.E., Finite  topological  spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 123(2), 325–340 (1966).